Karmaşık Sayılar Nasıl İcat Edildi?

Matematik, dünyamızı ölçmek, araziyi belirlemek, gezegenlerin hareketlerini tahmin etmek ve ticareti takip etmek için bir yol olarak başladı. Ancak, imkansız kabul edilen bir sorun ortaya çıktı: kübik denklemlerin genel çözümü. Bu sorunu çözmenin sırrı, matematiği gerçek dünyadan ayırmak, cebiri geometriden ayırmak ve karmaşık (imaginary) olarak adlandırılan yeni, fantastik sayılar icat etmekti. Şaşırtıcı bir şekilde, 400 yıl sonra, bu sayılar evrenin en iyi fiziksel teorisinin kalbinde yer aldı. Matematiğin gerçeklikle olan bağlantısını terk ederek, gerçekliğin gerçek doğasını keşfedebildik.

Karmaşık (imaginary) Sayıların İcadı: Temel Çıkarımlar

Bu makale, karmaşık (imaginary) sayıların matematik ve fizik dünyasındaki şaşırtıcı yolculuğunu detaylandırıyor. İşte konunun temel noktaları:

• Matematiğin Gelişimi ve Kübik Denklemler: Matematik başlangıçta somut, gerçek dünya ölçümleri için kullanılıyordu. Ancak, binlerce yıldır çözülemeyen kübik denklemler, matematiği yeni bir yöne itti. Eski matematikçiler, denklemleri geometri (şekiller ve alanlar) kullanarak çözdüler ve negatif sayıları veya çözümleri anlamlandıramadılar.

• 
  

• Gizli Çözümler ve Matematik Düelloları: 16. yüzyılda, Scipione del Ferro, "depressed cubic" (x² terimi olmayan kübik denklemler) için bir çözüm keşfetti ancak işini korumak için bunu gizli tuttu. Bu sır, öğrencisi Antonio Fior'a geçti ve Fior'un matematikçi Niccolo Fontana Tartaglia'ya meydan okumasına yol açtı. Tartaglia, bu düelloyu kazanarak depressed cubic'i kendi başına çözdü.

• Cardano ve "Ars Magna": Gerolamo Cardano, Tartaglia'dan yeminle aldığı bilgiyi, del Ferro'nun orijinal keşfiyle birleştirerek kübik denklemin genel çözümünü buldu ve "Ars Magna" adlı eserinde yayınladı. Bu eser, geometrik akıl yürütmenin sınırlarını zorladı ve negatif alan gibi paradokslara yol açtı.

• Karmaşık (imaginary) Sayıların Doğuşu: Kübik denklemlerin çözümünde ortaya çıkan negatif sayıların karekökleri (örneğin −1​), ilk başta "işe yaramaz" olarak görülse de, Rafael Bombelli bu sayıları kullanarak gerçek çözümlere ulaşmayı başardı. Bu, matematiğin gerçek dünya bağlamından ayrılmasının ve karmaşık (imaginary) sayıların (daha sonra René Descartes tarafından adlandırıldı) bir "köprü" olarak kabul edilmesinin önünü açtı.

• Modern Matematiğe Etkisi: François Viete'nin modern sembolik cebir notasyonunu tanıtmasıyla matematik, kelime ve çizimlerden denklemlere geçti. Karmaşık (imaginary) sayılar, Leo Euler'in "i" sembolünü kullanmasıyla daha da resmileşti ve karmaşık sayılar kavramı doğdu. Bu, cebiri geometriden kurtardı ve matematiği daha güçlü ve eksiksiz hale getirdi.

• Fizikteki Şaşırtıcı Rolü: Yaklaşık 400 yıl sonra, Erwin Schrödinger, kuantum mekaniğinin temel denklemini (Schrödinger Denklemi) formüle ederken, "i"nin bu denklemin merkezinde yer aldığını keşfetti. Başlangıçta fizikçiler için garip olsa da, karmaşık (imaginary) sayıların rotasyonel özellikleri ve dalgaları (sinüs ve kosinüs) zarifçe temsil etme yeteneği, onların evrenin en temel teorilerinden birinde vazgeçilmez olmasını sağladı. Freeman Dyson'ın da belirttiği gibi, "Schrödinger denkleme eksi birin karekökünü koydu ve aniden anlam kazandı."

Kısacası, karmaşık (imaginary) sayılar, başlangıçta soyut ve gerçeklikten kopuk görünseler de, matematiğin sınırlarını genişleterek hem kendi içindeki derin problemlerin çözümüne hem de evrenin işleyişine dair şaşırtıcı gerçeklerin keşfine öncülük etti.

Kübik Denklemler ve Tarihsel Zorluklar

1494 yılında, Leonardo da Vinci'nin matematik öğretmeni Luca Pacioli, "Summa de Arithmetica" adlı eserini yayınladı. Bu eser, o dönemde Rönesans İtalya'sında bilinen tüm matematiğin kapsamlı bir özetini sunuyordu. Kitapta, günümüzde ax³ + bx² + cx + d = 0 olarak yazdığımız kübik denklemler üzerine bir bölüm vardı. İnsanlar en az 4000 yıldır kübik denkleme genel bir çözüm bulmaya çalışıyorlardı, ancak Babilliler, Yunanlılar, Çinliler, Hintliler, Mısırlılar ve Persler gibi her eski medeniyet bu konuda başarısız oldu. Pacioli'nin vardığı sonuç, kübik denkleme bir çözümün imkansız olduğuydu.

Bu durum şaşırtıcıydı, çünkü x³ terimi olmasaydı, denklem basitçe bir ikinci dereceden denklem olurdu. Ve birçok eski medeniyet, binlerce yıl önce ikinci dereceden denklemleri çözmüştü. Günümüzde sekizinci sınıfı geçen herkes genel çözümü bilir: (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Ancak çoğu insan, eski matematikçilerin bu formülü türetmek için kullandıkları geometriye tamamen kayıtsız kalır.

Geometri ve Negatif Sayıların Reddi

Eski zamanlarda matematik denklemlerle değil, kelimelerle ve resimlerle yazılırdı. Örneğin, x² + 26x = 27 denklemi, x uzunluğunda kenarları olan bir kare ve 26x boyutlarında bir dikdörtgenin alanlarının toplamı olarak düşünülürdü. "Kareyi tamamlama" yöntemiyle bu denklemler çözülüyordu. Ancak bu geometrik yaklaşım, negatif çözümleri göz ardı ediyordu. Binlerce yıl boyunca matematikçiler, denklemlerinin negatif çözümlerine karşı kayıtsız kaldılar çünkü gerçek dünyadaki şeylerle, yani uzunluklar, alanlar ve hacimlerle uğraşıyorlardı. Negatif sayılar onlar için anlamsızdı.

Bu nedenle, tek bir ikinci dereceden denklem yerine, katsayıların her zaman pozitif olduğu altı farklı versiyonu vardı. Aynı yaklaşım kübik denklem için de benimsendi. 11. yüzyılda, Fars matematikçi Ömer Hayyam, yine tüm katsayıları pozitif tutarak 19 farklı kübik denklem tanımladı.

Kübik Denklemin Sırrı ve Matematik Düelloları

1510 civarında, Bologna Üniversitesi'nde matematik profesörü Scipione del Ferro, "depressed cubic" adı verilen, x² terimi olmayan kübik denklemlerin güvenilir bir şekilde çözülmesini sağlayan bir yöntem buldu. Ancak bu çözümü kimseye söylemedi. 1500'lerde matematikçi olmak zordu; işiniz sürekli olarak diğer matematikçilerin tehdidi altındaydı. Bir matematik düellosu gibiydi: her katılımcı diğerine bir dizi soru gönderir ve en çok soruyu doğru çözen kişi işi alır. Del Ferro, çözümlerini gizli tutarak iş güvenliğini garanti altına aldı.

Del Ferro, sırrını neredeyse yirmi yıl boyunca sakladı. Sadece 1526'daki ölüm döşeğinde öğrencisi Antonio Fior'a bu sırrı açıkladı. Fior, mentorü kadar yetenekli bir matematikçi değildi, ancak genç ve hırslıydı. Del Ferro'nun ölümünden sonra, kendi matematiksel ustalığıyla ve özellikle depressed cubic'i çözme yeteneğiyle övündü.

12 Şubat 1535'te Fior, Venedik'e yeni taşınan matematikçi Niccolo Fontana Tartaglia'ya meydan okudu. Tartaglia, çocukken Fransız bir asker tarafından yüzü kesildiği için kekemeydi ve bu yüzden "kekeme" anlamına gelen Tartaglia adıyla anılıyordu. Tartaglia, Fior'un 30 depressed cubic problemini sadece iki saatte çözdü, Fior ise tek bir problemi bile çözemedi. Tartaglia, Fior'un bu iddiayı ortaya attığını öğrenince, kendi kendine depressed cubic'i çözmek için çalıştı ve üç boyutlu olarak kareyi tamamlama fikrini genişleterek bunu başardı.

Cardano'nun "Ars Magna"sı ve Karmaşık (imaginary) Sayıların Doğuşu

Tartaglia'nın zaferi onu bir ünlü haline getirdi. Matematikçiler, özellikle Milan'da yaşayan bilgin Gerolamo Cardano, kübik denklemi nasıl çözdüğünü öğrenmek için can atıyordu. Tartaglia, yöntemini açıklamak istemiyordu, ancak Cardano'nun ısrarı üzerine, Cardano'dan kimseye söylemeyeceğine, yayınlamayacağına ve sadece şifreli bir şekilde yazacağına dair yemin ettirdikten sonra 25 Mart 1539'da Milan'da yöntemini açıkladı.

Cardano, Tartaglia'nın algoritmasıyla oynamaya başladı ve tüm kübik denkleme, yani x² terimini içeren denkleme bir çözüm buldu. x yerine x - b/3a koyarak, tüm x² terimlerinin birbirini götürdüğünü ve herhangi bir genel kübik denklemi depressed cubic'e dönüştürmenin bir yolunu keşfetti.

1542'de Cardano, Bologna'ya gitti ve orada Scipione del Ferro'nun damadı olan bir matematikçiyi ziyaret etti. Del Ferro'nun eski defterinde, Tartaglia'nın çözümünden onlarca yıl öncesine ait çözümü buldu. Böylece Cardano, Tartaglia'ya ettiği yemini bozmadan kübik denklemin tam çözümünü yayınlayabileceğini düşündü.

Üç yıl sonra, 1545'te Cardano, matematiğin güncellenmiş bir derlemesi olan "Ars Magna"yı (Büyük Sanat) yayınladı. Bu eserde, kübik denklemin 13 farklı düzenlemesi için benzersiz bir geometrik kanıt içeren bir bölüm yazdı. Tartaglia, del Ferro ve Fior'un katkılarını kabul etse de, Tartaglia bundan memnun değildi. Günümüzde bile kübik denklemin genel çözümüne genellikle Cardano'nun yöntemi denir.

"Ars Magna"nın yazımı sırasında Cardano, kökleri negatif sayıları içeren kübik denklemlerle karşılaştı. Örneğin, x³ = 15x + 4 denklemi, algoritmayı uyguladığında negatif sayıların kareköklerini içeren bir çözüm veriyordu. Cardano, bu durumu Tartaglia'ya sordu, ancak Tartaglia kaçamak cevaplar verdi. Gerçek şu ki, Tartaglia da ne yapacağını bilmiyordu.

Cardano, benzer bir problemin geometrik türetmesini tekrar inceledi ve son ikinci dereceden kareyi tamamlama adımının geometrik bir paradoksa yol açtığını gördü. Bir karenin bir kısmının alanı 30, kenarları ise 5 olmalıydı. Tam kareyi tamamlamak için Cardano'nun bir şekilde negatif alan eklemesi gerekiyordu. Negatiflerin karekökleri, negatif alan fikrinden geliyordu.

Daha önce de negatif sayıların karekökleri matematikte ortaya çıkmıştı, ancak bu kübik denklem farklıydı. Küçük bir tahmin ve kontrolle, x=4'ün bir çözüm olduğu bulunabiliyordu. Peki neden diğer tüm kübik denklemler için çalışan yaklaşım, bu denklemin makul çözümünü bulamadı? İleriye dönük bir yol göremeyen Cardano, "Ars Magna"da bu durumu "incelikli olduğu kadar işe yaramaz" diyerek ele aldı.

Yaklaşık 10 yıl sonra, İtalyan mühendis Rafael Bombelli, Cardano'nun kaldığı yerden devam etti. Negatiflerin kareköklerinden ve bunların ima ettiği imkansız geometriden yılmayan Bombelli, çözüme giden yolu bulmak istedi. Negatif bir sayının karekökünün "ne pozitif ne de negatif olarak adlandırılamayacağını" gözlemleyerek, onu kendi yeni sayı türü olarak kabul etti. Bombelli, Cardano'nun çözümündeki iki terimin, sıradan bir sayı ile negatif bir sayının karekökünü içeren bu yeni sayı türünün bir kombinasyonu olarak temsil edilebileceğini varsaydı. Bu şekilde Bombelli, Cardano'nun denklemindeki iki küp kökün, iki artı veya eksi negatif birin kareköküne eşdeğer olduğunu buldu. Böylece son adımı attığında ve bunları topladığında, karekökler birbirini götürerek doğru cevabı, yani dördü bıraktı. Bu, mucizevi olmaktan başka bir şey değildi. Cardano'nun yöntemi işe yaradı, ancak onu ilk etapta üreten geometrik kanıtı terk etmek gerekiyordu. Gerçeklikte hiçbir anlam ifade etmeyen negatif alanlar, çözüme giden yolda bir ara adım olarak var olmalıydı.

Karmaşık (imaginary) Sayıların Modern Bilime Etkisi

Sonraki yüz yıl boyunca modern matematik şekillendi. 1600'lerde, François Viete, cebir için modern sembolik gösterimi tanıttı ve binlerce yıllık matematik problemlerini çizimler ve sözlü tanımlar olarak yazma geleneğini sona erdirdi. Geometri artık gerçeğin kaynağı değildi. Rene Descartes, negatif sayıların kareköklerini yoğun bir şekilde kullandı ve sonuç olarak onları popülerleştirdi. Faydalarını kabul etse de, onlara karmaşık (imaginary) sayılar" adını verdi, bu isim kaldı. Bu yüzden Euler daha sonra negatif birin karekökünü temsil etmek için "i" harfini tanıttı. Normal sayılarla birleştiğinde, karmaşık sayıları oluşturdular.

Kübik denklem, bu yeni sayıların icadına yol açtı ve cebiri geometriden özgürleştirdi. Gerçekliğin en iyi tanımı gibi görünen şeyi, yani görebildiğiniz ve dokunabildiğiniz geometrinin bırakılmasıyla, gerçek problemleri çözebilen çok daha güçlü ve eksiksiz bir matematik elde edildi. Ve kübik denklemin sadece başlangıç olduğu ortaya çıktı.

1925'te Erwin Schrödinger, kuantum parçacıklarının davranışını yöneten bir dalga denklemi arıyordu. De Broglie'nin maddenin dalgalardan oluştuğu içgörüsüne dayanarak, tüm fiziğin en önemli ve ünlü denklemlerinden biri olan Schrödinger denklemini buldu. Ve içinde belirgin bir şekilde "i" yani negatif birin karekökü yer alıyordu. Matematikçiler karmaşık (imaginary) sayılara alışmışken, fizikçiler alışmamıştı ve böyle temel bir teoride ortaya çıkmasını rahatsız edici buldular. Schrödinger'in kendisi bile "Burada hoş olmayan ve hatta doğrudan itiraz edilmesi gereken şey, karmaşık sayıların kullanılmasıdır. Dalga fonksiyonu Psi kesinlikle temelde gerçek bir fonksiyondur" diye yazdı.

Bu adil bir itiraz gibi görünse de, kübik denklemin çözümünde ilk kez ortaya çıkan karmaşık (imaginary) bir sayı neden temel fizikte yer alıyor? Bunun nedeni, karmaşık (imaginary) sayıların bazı benzersiz özellikleridir. Karmaşık (imaginary) sayılar, gerçek sayı doğrusuna dik bir boyutta bulunur. Birlikte, karmaşık düzlemi oluştururlar. "i" ile tekrar tekrar çarptığınızda ne olduğuna bakın: 1'den başlayarak, 1 çarpı i, i'dir; i çarpı i, tanım gereği eksi birdir; eksi bir çarpı i, eksi i'dir; ve eksi i çarpı i, birdir. Başladığımız yere geri döndük ve "i" ile çarpmaya devam edersek, nokta dönmeye devam edecektir. Yani "i" ile çarptığınızda, aslında karmaşık düzlemde 90 derece döndürüyorsunuz.

X ekseni boyunca ilerledikçe "i" ile tekrar tekrar çarpan bir fonksiyon vardır: e^(ix). Bu, bu dönüşleri X ekseni boyunca yayarak bir spiral oluşturur. Spiralin gerçek kısmına bakarsanız, bir kosinüs dalgasıdır. Ve karmaşık (imaginary) kısmına bakarsanız, bir sinüs dalgasıdır. Dalgaları tanımlayan iki temel fonksiyon, e^(ix) içinde yer alır.

Schrödinger bir dalga denklemi yazmaya gittiğinde, denkleminin çözümlerinin e^(ix) gibi görüneceğini doğal olarak varsaydı, özellikle e^(ikx - ωt). Neden bu formülasyonu kullanıp basit bir sinüs dalgası kullanmadığını merak edebilirsiniz, ancak üstel fonksiyonun bazı faydalı özellikleri vardır. Konuma veya zamana göre türevini alırsanız, bu türev orijinal fonksiyonun kendisiyle orantılıdır. Ve türevi kosinüs olan sinüs fonksiyonunu kullanırsanız bu doğru değildir. Ayrıca, Schrödinger denklemi doğrusal olduğu için, bu formdaki keyfi sayıda çözümü toplayabilir, istediğiniz herhangi bir dalga şeklini oluşturabilirsiniz ve o da Schrödinger denkleminin bir çözümü olacaktır.

Fizikçi Freeman Dyson daha sonra şöyle yazdı: "Schrödinger denkleme eksi birin karekökünü koydu ve aniden anlam kazandı. Aniden bir ısı iletim denklemi yerine bir dalga denklemi oldu. Ve Schrödinger, denklemin atomun Bohr modelindeki nicelenmiş yörüngelere karşılık gelen çözümlere sahip olduğunu sevinerek buldu. Schrödinger denkleminin atomların davranışı hakkında bildiğimiz her şeyi doğru bir şekilde tanımladığı ortaya çıktı. Tüm kimyanın ve fiziğin çoğunun temelini oluşturur. Ve o eksi birin karekökü, doğanın gerçek sayılarla değil, karmaşık sayılarla çalıştığı anlamına gelir. Bu keşif, Schrödinger'e ve diğer herkese tam bir sürpriz olarak geldi."

Böylece, kübik denklemi çözmeye giden yolda tuhaf, ara bir adım olarak keşfedilen karmaşık (imaginary) sayılar, gerçeklik tanımımızın temelini oluşturdu. Matematiğin gerçeklikle olan bağlantısını bırakarak, evrenin işleyişi hakkında daha derin bir gerçeğe bizi yönlendirebildi.

Bu makale, Veritasium'un "How Imaginary Numbers Were Invented" videosunun içeriğinden faydalanılarak hazırlanmıştır. Videoyu izlemek için: https://www.youtube.com/watch/cUzklzVXJwo